此数学题求解答
四棱锥P_ABCD的底面是ABCD正方形，PD垂直平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP；
(1)。证明AC垂直DE；(2)。若PC=√2•BC求二面角E—AC—P的余弦值.
解：(1)。证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD；连接BD，∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；故AC⊥平面PDB；DE⊂平面PDB，∴AC⊥DE.
(2)。设底面正方形ABCD的两条对角线的交点为O。连接PO，EO；∵PD⊥平面ABCD，PD=PD，
AD=CD，∴RT△PDA≌RT△PDC，∴AP=CP，即△PAC是等腰三角形；O为AC的中点，故PO
⊥AC；又已证AC⊥平面PDB，EO⊂平面PDB，∴EO⊥AC；故∠POE就是二面角E—AC—P的平
面角。
∵PC=√2•BC=√2•CD，∴∠PCD=45°；设PD=CD=1，那么BD=√2；PB²=PD²+BD²=1+2=3；
PE=(2/3)PB=(2/3)√3；PO²=PD²+DO²=1+1/2=3/2；BE=(1/3)PB=(1/3)√3；BO=BD/2=√2/2；
cos∠PBD=BD/PB=√(2/3)；
EO²=BO²+BE²-2BO•BEcos∠PBD=1/2+(1/3)-2×(√2/2)×(√3/3)×√(2/3)=1/6；
故cos∠POE=(PO²+EO²-PE²)/(2PO×EO)=(3/2+1/6-4/3)/[2×√(3/2)×√(1/6)]=1/3.
因为PD垂直平面ABCD，所以PD垂直AC，
因为平面ABCD为正方形，所以AC垂直BD
所以AC垂直平面PBD
又因为DE在平面PBD上
所以AC垂直DE
连接AC、BD交与点O
设BC=1，则PC=根号2，因为角PDC=90°，所以PD=1
因为角PDB=90°，而PD=1,BD=根号2，所以PB=根号3
PE=根号3/3，OP=根号6/2，OE²=BE²+OB²-2BE*OBcos角PBD=1/2
cos角POE=（OP²+OE²-PE²）/（2*OP*OE）=17根号6/36
因为AC垂直平面PBD，所以AC垂直OE
即二面角E_AC_P即为角POE，即为17根号6/36
说明，提供思路，可能计算会有错误，有事，没细算。
PC=根号2 ＊BC，顾PC=根号2 ＊CD， BD=根号2 ＊CD AC,BD交于O, OD=根号2/2CD PD=CD 可求出OP=根号（3/2）CD，PB=根号3*CD ,PE=根号3*CD/3 , 在PBD中计算出OE, 再用余弦定律解出。
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