Question

已知：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．（1）当BC=5，CE=4，AD=2，求CD

已知：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．（1）当BC=5，CE=4，AD=2，求CD的长；（2）若AB=AC，试证：BD=DE．





Answer 1

解（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEC=∠BDA=90°，
又由∠C是公共角，
∴△BCE∽△ADC，
∴

CD

CE

＝

AD

BE

，
∵CE=4，BC=5，AD=2，
在Rt△BCE中，BE=

BC2?CE2

＝

52?42

=3，
∴CD=

AD?CE

BE

＝

2×4

3

＝

8

3

；

（2）若AB=AC，则∠ABC=∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵△BCE∽△ADC，
∴∠EBC=∠CAD，
∴∠EBD=∠BAD，
∴

BD

=

DE

．

Answer 2

解（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEC=∠BDA=90°，
又由∠C是公共角，
∴△BCE∽△ADC，
∴
CD
CE
＝
AD
BE
，
∵CE=4，BC=5，AD=2，
在Rt△BCE中，BE=
BC2?CE2
＝
52?42
=3，
∴CD=
AD?CE
BE
＝
2×4
3
＝
8
3
；

（2）若AB=AC，则∠ABC=∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵△BCE∽△ADC，
∴∠EBC=∠CAD，
∴∠EBD=∠BAD，
∴

BD
=

DE
．