Question

已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C（1）求C

已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C（1）求C的方程；（2）直线l是过曲线C的右焦点，且斜率为2的直线，该直线与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

（1）设点P（x，y），动圆P的半径为r，
∵⊙N与⊙P内切，∴|NP|=3-r，
∵⊙M与⊙P外切，∴|MP|=1+r，
∵|MP|+|NP|=4＞|MN|=2，
∴P点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆．|MP|+|NP|=4=2a，∴a=2，
∵|MN|=2c=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴P的轨迹方程为：

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）直线l的方程为y=2x-2，代入

x2

4

+

y2

3

＝1，消去y得19x²-32x+2=0，
x₁+x₂=

32

19

，x₁?x₂=

2

19

．
∴|AB|=

1+22

?

( 32 19 )2?4( 2 19 )

=

5

?

872

19

=

2 1090

19

．