Question

如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交AD于E．（1）求证：BE=DE；（2）若AD=8，AB

如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交AD于E．（1）求证：BE=DE；（2）若AD=8，AB=4，求△BED的面积．

Answer 1

（1）见解析   （2）10

试题分析：（1）先根据折叠的性质得出∠1=∠2，再由矩形的对边平行，内错角相等，所以∠1=∠3，然后根据角之间的等量代换可知DE=BE； （2）设DE=x，则AE=8﹣x，BE=x，在△ABE中，运用勾股定理得到BE 2 =AB 2 +AE 2 ，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再根据三角形的面积公式，即可求得△BED的面积． （1）证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的， ∴∠1=∠2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴BE=DE；（2）解：设DE=x，则AE=AD﹣DE=8﹣x， 在△ABE中，∵∠A=90°，BE=DE=x， ∴BE 2 =AB 2 +AE 2 ， ∴x 2 =4 2 +（8﹣x） 2 ， ∴x=5， ∴△BED的面积= DE×AB= ×5×4=10． 点评：此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后对应边、对应角相等．