Question

过椭圆x2/4+y2/3=1左焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，证明1/AF+1/BF为定值

Answer 1

由椭圆方程得a=2,b=根号3。则c=1，那么F(-1,0)。
设过点F的直线方程为x=ky-1，与椭圆方程x^2/4+y^2/3=1联立消去x并整理，得到：
(3k^2+4)y^2-6ky-9=0。显然Δ>0即方程有两相异实根。
记A(x1,y1)，B(x2,y2)。不妨涉A在x轴上方即y1>0，那么y2<0。
由韦达定理有y1+y2=6k/(3k^2+4)；y1*y2=-9/(3k^2+4)。
∴(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1*y2=144(k^2+1)/(3k^2+4)^2；
有∵y2-y1<0，
∴y2-y1=12*根号(k^2+1)/(3k^2+4)。
而AF=根号(1+k^2)*y1；BF=-根号(1+k^2)*y2。
故1/AF+1/BF=[1/y1-1/y2]*[根号(1+k^2)]^(-1)
=(y2-y1)/(y1*y2)*[根号(1+k^2)]^(-1)
=[-12*根号(k^2+1)/(3k^2+4)]/[-9/(3k^2+4)]*[根号(1+k^2)]^(-1)
=4/3为一定值。
证毕#