Question

设A，B，AB-I是同阶可逆矩阵，则（（A-B-1）-1-A-1）-1=（　　）A．BAB-IB．ABA-IC．ABA-AD．BAB-

设A，B，AB-I是同阶可逆矩阵，则（（A-B-1）-1-A-1）-1=（　　）A．BAB-IB．ABA-IC．ABA-AD．BAB-B

Answer 1

由于AB-I=（A-B^-1）B，而B，AB-I是同阶可逆矩阵，因此
（A-B^-1）^-1=B（AB-I）^-1
设C=A-B^-1，则
C^-1-A^-1=-C^-1（C-A）A^-1
∴（C^-1-A^-1）^-1=-A（C-A）^-1C
而C-A=-B^-1，因此
（C-A）^-1=-B
∴（C^-1-A^-1）^-1=-A（C-A）^-1C=ABC
将C=A-B^-1，代入得
（（A-B^-1）^-1-A^-1）^-1=AB（A-B^-1）=ABA-A
故选：C．