Question

【理科生做】已知点A、B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-1．

【理科生做】已知点A、B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-1．（1）求点M轨迹C的方程；（2）若过点（2，0）且斜率为k的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），记△ODE与△ODF面积之比为λ，求关于λ和k的关系式，并求出λ取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

（1）设M（x，y），由题意可得k_AM?k_BM=-1，∴

y+1

x

?

y?1

x

＝?1（x≠0），化为x²+y²=1（x≠0）．
∴点M轨迹C的方程为x²+y²=1（x≠0）；
（2）如图所示，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），（x₁＞0＞x₂）．
则

S△ODE

S△ODF

＝

|DE|

|DF|

＝λ．
直线l的方程为y=k（x-2）．
联立

y＝k(x?2) x2+y2＝1

，（0＜y≤1），化为（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0，
由△=16k⁴-4（1+k²）（4k²-1）＞0，及1≥y＞0，解得?

3

3

＜k＜0．
∴x＝

4k2±2 1?3k2

2(1+k2)

，取x1＝

2k2+ 1?3k2

1+k2

，