Question

已知函数y=f（x），若在区间（-2，2）内有且仅有一个x0，使得f（x0）=1成立，则称函数f（x）具有性质M．

已知函数y=f（x），若在区间（-2，2）内有且仅有一个x0，使得f（x0）=1成立，则称函数f（x）具有性质M．（Ⅰ）若f（x）=sinx+2，判断f（x）是否具有性质M，说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，试求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性质M．
理由：依题意，若存在x₀∈（-2，2），使得f（x₀）=1，
则x₀∈（-2，2）时有sinx₀+2=1，即sinx₀=-1，x₀=2kπ-

π

2

，k∈Z．
由于x₀∈（-2，2），所以x₀=-

π

2

．
又因为区间（-2，2）内有且仅有一个x₀=-

π

2

．使得f（x₀）=1成立，
所以f（x） 具有性质M；
（Ⅱ）依题意，若函数f（x）=x²+2mx+2m+1具有性质M，
即方程x²+2mx+2m=0在（-2，2）上有且只有一个实根．
设h（x）=x²+2mx+2m，即h（x）=x²+2mx+2m在（-2，2）上有且只有一个零点．
解法一：
（1）当-m≤-2时，即m≥2时，可得h（x）在（-2，2）上为增函数，
只需

h(?2)＜0 h(2)＞0

解得

m＞2 m＞? 2 3

交集得m＞2．
（2）当-2＜-m＜2时，即-2＜m＜2时，若使函数h（x）在（-2，2）上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：
（ⅰ）m=0时，h（x）=x²在（-2，2）上有且只有一个零点，符合题意．
（ⅱ）当-2＜-m＜0即0＜m＜2时，需

h(?2)≤0 h(2)＞0

解得

m≥2 m＞? 2 3

交集得?．
（ⅲ）当0＜-m＜2时，即-2＜m＜0时，需

h(?2)＞0 h(2)≤0

解得

m＜2 m≤? 2 3

交集得?2＜m≤?

2

3

．
（3）当-m≥2时，即m≤-2时，可得h（x）在（-2，2）上为减函数
只需

h(?2)＞0 h(2)＜0

解得

m＜2 m＜? 2 3

交集得m≤-2．
综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是m≤?

2

3

或m＞2或m=0；
解法二：
依题意，（1）由h（-2）?h（2）＜0得，（4-2m）（6m+4）＜0，解得m＜?

2

3

或m＞2．
同时需要考虑以下三种情况：
（2）由

?2＜?m＜2 △＝0

解得m=0．
（3）由

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