抛物线初中知识点整理
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1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
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右开口抛物线：y2=2px
抛物线
左开口抛物线：y2= -2px
上开口抛物线：x2=2py
下开口抛物线：x2=-2py
[p为焦准距（p>0）]
特点
在抛物线y2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；
在抛物线y2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；
在抛物线x2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；
在抛物线x2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；
四种方程
抛物线四种方程的异同
共同点：
①原点在抛物线上； ②对称轴为坐标轴；
③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；
②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。[2]
切线方程
抛物线y2=2px上一点（x0,y0)处的切线方程为：yoy=p(x+x0)
抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的切线方程为：y=kx-p/2k
3相关参数编辑
(对于向右开口的抛物线y2=2px)
离心率：e=1（恒为定值，为抛物线上一点与准线的距
二次函数的图像是一条抛物线
离以及该点与焦点的距离比）
焦点:(p/2，0)
准线方程l:x=-p/2
顶点：(0，0)
通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦
定义域：对于抛物线y2=2px，p>0时，定义域为x≥0，p<0时，定义域为x≤0；对于抛物线x2=2py，定义域为R。
值域：对于抛物线y2=2px，值域为R，对于抛物线x2=2py，p>0时，值域为y≥0，p<0时，值域为y≤0。
4术语解释编辑
准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。
弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。
焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。
正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。
直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。
主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。
抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线[3]
5解析式求法编辑
以焦点在X轴上为例
知道P（x0，y0)
令所求为y2=2px
则有y02=2px0
∴2p=y02/x0
∴抛物线为y2=(y02/x0)x
6光学性质编辑
经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。
证明：
设P（x0，y0），PT是抛物线在P处的切线，PH⊥PT，抛物线的方程为
(a>0)，焦点F坐标为（0，
）
根据抛物线的定义知PF=y0+
又抛物线导数为
所以切线PN的斜率为2ax0，方程为y-y0=2ax0(x-x0)
令x=0,得
则FT=y0+
所以PF=FT，∠FTP=∠FPT,
又∠FPT=∠MPN
所以∠FTP=∠MPN
MP平行于y轴[4]
7准线式方程编辑
焦点准线式（标准方程）
焦点：F(m,n)
准线：L：ax+by+c=0
方程为：
抛物线
=
抛物线
整理得 b2x2-2abxy+a2y2-2(ac+ma2+mb2)x-2(bc+na2+nb2)y+(m2+n2)(a2+b2)-c2=0
面积和弧长公式
面积 Area=2ab/3
弧长 Arc length ABC
=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)
若O(0,0),M(x,y)是抛物线y^2=2px上两点，抛物线的弧OM的弧长
弧长 L=(p/2)*{√[(2x/p)*(1+2x/p)]+ln[√(2x/p)+√(1+2x/p)]}
8扩展公式编辑
抛物线：y = ax2 + bx + c （a≠0)
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a（x-h）2 + k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程：y2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px，y2=-2px，x2=2py，x2=-2py
9二次函数图象编辑
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由
平移得到的。
二次函数图像
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。
a,b同号，对称轴在y轴左侧
a,b异号，对称轴在y轴右侧
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）
,
。
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号。
当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。[2]
1
A（x1,y1)，B(x2,y2),A,B在抛物线y2=2px上，则有：
① x1x2 = p²/4 , y1y2 = -p² (要在直线过焦点时才能成立)；
(当A,B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p² , y1y2 = p²/4 , 要在直线过焦点时才能成立)
② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)2]；
③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；
⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；
⑥弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；
⑦△=b2-4ac；
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项；
⑨标准形式的抛物线在(x0，y0 )点的切线是：yy0=p(x+x0)
（注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 , y² =y*y0 , x=(x+x0)/2 , y=(y+y0)/2 )
⑴△=b2-4ac>0有两个实数根；
⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；
⑶△=b2-4ac<0没实数根。[2]
抛物线
左开口抛物线：y2= -2px
上开口抛物线：x2=2py
下开口抛物线：x2=-2py
[p为焦准距（p>0）]
特点
在抛物线y2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；
在抛物线y2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；
在抛物线x2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；
在抛物线x2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；
四种方程
抛物线四种方程的异同
共同点：
①原点在抛物线上； ②对称轴为坐标轴；
③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；
②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。[2]
切线方程
抛物线y2=2px上一点（x0,y0)处的切线方程为：yoy=p(x+x0)
抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的切线方程为：y=kx-p/2k
3相关参数编辑
(对于向右开口的抛物线y2=2px)
离心率：e=1（恒为定值，为抛物线上一点与准线的距
二次函数的图像是一条抛物线
离以及该点与焦点的距离比）
焦点:(p/2，0)
准线方程l:x=-p/2
顶点：(0，0)
通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦
定义域：对于抛物线y2=2px，p>0时，定义域为x≥0，p<0时，定义域为x≤0；对于抛物线x2=2py，定义域为R。
值域：对于抛物线y2=2px，值域为R，对于抛物线x2=2py，p>0时，值域为y≥0，p<0时，值域为y≤0。
4术语解释编辑
准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。
弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。
焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。
正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。
直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。
主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。
抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线[3]
5解析式求法编辑
以焦点在X轴上为例
知道P（x0，y0)
令所求为y2=2px
则有y02=2px0
∴2p=y02/x0
∴抛物线为y2=(y02/x0)x
6光学性质编辑
经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。
证明：
设P（x0，y0），PT是抛物线在P处的切线，PH⊥PT，抛物线的方程为
(a>0)，焦点F坐标为（0，
）
根据抛物线的定义知PF=y0+
又抛物线导数为
所以切线PN的斜率为2ax0，方程为y-y0=2ax0(x-x0)
令x=0,得
则FT=y0+
所以PF=FT，∠FTP=∠FPT,
又∠FPT=∠MPN
所以∠FTP=∠MPN
MP平行于y轴[4]
7准线式方程编辑
焦点准线式（标准方程）
焦点：F(m,n)
准线：L：ax+by+c=0
方程为：
抛物线
=
抛物线
整理得 b2x2-2abxy+a2y2-2(ac+ma2+mb2)x-2(bc+na2+nb2)y+(m2+n2)(a2+b2)-c2=0
面积和弧长公式
面积 Area=2ab/3
弧长 Arc length ABC
=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)
若O(0,0),M(x,y)是抛物线y^2=2px上两点，抛物线的弧OM的弧长
弧长 L=(p/2)*{√[(2x/p)*(1+2x/p)]+ln[√(2x/p)+√(1+2x/p)]}
8扩展公式编辑
抛物线：y = ax2 + bx + c （a≠0)
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a（x-h）2 + k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程：y2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px，y2=-2px，x2=2py，x2=-2py
9二次函数图象编辑
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由
平移得到的。
二次函数图像
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。
a,b同号，对称轴在y轴左侧
a,b异号，对称轴在y轴右侧
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）
,
。
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号。
当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。[2]
1
A（x1,y1)，B(x2,y2),A,B在抛物线y2=2px上，则有：
① x1x2 = p²/4 , y1y2 = -p² (要在直线过焦点时才能成立)；
(当A,B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p² , y1y2 = p²/4 , 要在直线过焦点时才能成立)
② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)2]；
③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；
⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；
⑥弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；
⑦△=b2-4ac；
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项；
⑨标准形式的抛物线在(x0，y0 )点的切线是：yy0=p(x+x0)
（注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 , y² =y*y0 , x=(x+x0)/2 , y=(y+y0)/2 )
⑴△=b2-4ac>0有两个实数根；
⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；
⑶△=b2-4ac<0没实数根。[2]
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