Question

高等数学，中值定理，f(x)可导函数,求证:存在ξ∈(0,1)，使f'(ξ)f(1-ξ∧2)=2ξ

高等数学，中值定理，f(x)可导函数,求证:存在ξ∈(0,1)，使f'(ξ)f(1-ξ∧2)=2ξf(ξ)f'(1-ξ∧2)，做不出来，麻烦帮忙看下谢谢

Answer 1

分析：
先看要证明的式子，就是要证明函数f'(x)f(1-x²)-2xf(x)f'(1-x²)有零点，这个函数刚好是函数f(x)f(1-x²)的导数，所以这就与罗尔定理有关系了。
证明：
设F(x)=f(x)f(1-x²)，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，F(0)=f(0)f(1)=F(1)，所以根据罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)f(1-ξ²)-2ξf(ξ)f'(1-ξ²)＝0，所以f'(ξ)f(1-ξ²)＝2ξf(ξ)f'(1-ξ²)＝0。

追问

等等，这中间是减号啊，如果是f(x)f(1-x∧2)的导数中间应该是加号吧

为什么F(1)=f(0)f(1)

追答

1-x²的导数是-2x啊。

追问

哦哦对哦，那为什么F(1)=f(0)f(1)

追答

不就是代入x＝1嘛

追问

哦哦，好吧