Question

求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系及其非齐次通解。求解答过程，谢谢啦€

求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系及其非齐次通解。求解答过程，谢谢啦🙏🙏

Answer 1

增广矩阵 (A, b) =
[1 1 0 0 5]
[2 1 1 2 1]
[5 3 2 2 3]
行初等变换为
[1 1 0 0 5]
[0 -1 1 2 -9]
[0 -2 2 2 -22]
行初等变换为
[1 0 1 2 -4]
[0 1 -1 -2 9]
[0 0 0 -2 -4]
行初等变换为
[1 0 1 0 -8]
[0 1 -1 0 13]
[0 0 0 1 2]
r(A, b) = r(A) = 3 < 4, 方程组有无穷多解。
此时方程组同解变形为
x1 = -8-x3
x2 = 13+x3
x4 = 2
取 x3 = 0, 得一个特解是 (-8, 13, 0, 2)^T。
导出组是
x1 = -x3
x2 = x3
x4 = 0
取 x3 = 1, 得基础解系是 (-1, 1, 1, 0)^T。
通解是 x = (-8, 13, 0, 2)^T + k (-1, 1, 1, 0)^T。