Question

求大神举例讲解下三重积分被积函数为奇或偶函数，函数关于积分区域对

求大神举例讲解下三重积分被积函数为奇或偶函数，函数关于积分区域对称，然后其结果就为0或2倍。我是不知道看x,y,z哪个函数的奇偶性质，又与积分区域结合

Answer 1

## 奇偶对称性

如果积分区域关于平面x=0（也就是YOZ坐标面），被积函数是x的奇函数则积分等于0，被积函数为x的偶函数则积分为对称的一半区间上积分的2倍。对y，z同理。

这个很好记，积分区域关于谁=0对称，就考察被积函数关于谁的奇偶性。

举个例子：

假设积分区域Ω是上半球，Ω1是上半球在第一卦限的部分，Ω12是上半球在第一二卦限的部分，Ω23是上半球在第二三卦限的部分

显然，Ω关于x=0（YOZ）和y=0（XOZ）都对称，而Ω12关于x=0（YOZ）对称性的，Ω23关于y=0（XOZ）对称

（1）被积函数f(x,y,z)=x*y^2*z

• f关于x是奇函数，所以∫∫∫Ωf(x,y,z)dv=0

• f关于y是偶函数，所以∫∫∫ Ω f(x,y,z)dv=2∫∫∫ Ω12 f(x,y,z)dv；进一步，由于Ω12关于x=0对称而f是x的奇函数，所以∫∫∫ Ω12 f(x,y,z)dv=0，也就是∫∫∫ Ω f(x,y,z)dv=2∫∫∫ Ω12 f(x,y,z)dv=0

• f虽然是z的奇函数，但Ω关于z=0并不具备对称性，所以不满足奇偶对称性条件

（2）被积函数f(x,y,z)=z

• Ω关于x=0对称，f是x的偶函数，则∫∫∫ Ω f(x,y,z)dv=2∫∫∫ Ω23 f(x,y,z)dv

• Ω23关于y=0对称，f是y的偶函数，则∫∫∫ Ω23 f(x,y,z)dv=2 ∫∫∫ Ω1 f(x,y,z)dv

综合起来，∫∫∫ Ω f(x,y,z)dv=2∫∫∫ Ω23 f(x,y,z)dv=4∫∫∫ Ω1 f(x,y,z)dv