Question

怎样证明一组向量线性相关或者线性无关

Answer 1

把向量组的各列向量拼成一个矩阵，求出矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

扩展资料：

若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

参考资料来源：百度百科--线性相关

Answer 2

证明矩阵向量组线性无关，就是把这些向量组成一个矩阵，然后用初等行变换将之变成只含1和0的矩阵；然后观察每列的元素，如果某一列能够被其他列线性计算表示，则说明是线性相关，反之线性无关。

证明举例：A=【1 0 0】T和B=【0 1 0】T和C=【0 0 1】T，他们之间是没办法用A = b*B+c*C来表示的，或者找不到b和c，使得A = b*B+c*C成立，此时说明A和B C线性无关。反之，如果能找到b和c，使得A = b*B+c*C成立，那么A和B C线性无关。

线性相关性质

1、对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。

2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关；若a≠0,则说A线性无关。

3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

4、含有相同向量的向量组必线性相关。

Answer 3

证明矩阵向量组线性无关，就是把这些向量组成一个矩阵，然后用初等行变换将之变成只含1和0的矩阵；然后观察每列的元素，如果某一列能够被其他列线性计算表示，则说明是线性相关，反之线性无关。

证明举例：A=【1 0 0】T和B=【0 1 0】T和C=【0 0 1】T，他们之间是没办法用A = b*B+c*C来表示的，或者找不到b和c，使得A = b*B+c*C成立，此时说明A和B C线性无关。反之，如果能找到b和c，使得A = b*B+c*C成立，那么A和B C线性无关。

线性相关注意事项：

1、对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。

2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关； 若a≠0， 则说A线性无关。

3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

4、含有相同向量的向量组必线性相关。

5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】

6、减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）【整体无关，局部无关】

7、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。【无关组的加长组仍无关】

8、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。【相关组的缩短组仍相关】

9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

Answer 4

最直观的方法，就是把这些向量组成一个矩阵，
然后用初等行变换将之变成只含1和0的矩阵；
然后观察每列的元素，如果某一列能够被其他列线性计算表示，则说明是线性相关，反之线性无关。
例如：
A=[1 0 0]T 和B= [010]T 和C= [001]T， 他们之间是没办法 用 A = b*B+c*C 来表示的，或者找不到b和c，使得 A = b*B+c*C成立， 此时说明A和B C线性无关。 反之，如果能找到b和c，使得 A = b*B+c*C成立，那么A和B C线性无关

追答

最后2个字笔误，是“相关”

Answer 5