Question

1/(x+根号下x^2+x+1)的不定积分

Answer 1

设x = sinθ (0＜θ＜π/2)，
dx = cosθ dθ
∫ √(1 - x²) dx
= ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ)
= ∫ cos²θ dθ
= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ
= θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

Answer 2

如果只是求∫√(1-x²)xdx
那么凑微分即可
原积分=∫-0.5√(1-x²)d(1-x²)
=-1/3 *(1-x²)^(3/2)+C，c为常数
如果是∫√(1-x²)dx，使用三角代换
而你图片上的题目已经解答的很清楚

Answer 3

三角换元法
x^2-x=(x-1/2)^2-(1/2)^2
令x-1/2=(1/2)sect，dx=(tant)^2dt
代入即可去掉根式，继续积分即可求出结果，再把变量回代

Answer 4

令x=sint，则dx=costdt
原式=∫cost/(sint+cost)dt
=(1/2)*∫[(sint+cost)+(cost-sint)]/(sint+cost)dt
=(1/2)*∫dt+(1/2)*∫d(sint+cost)/(sint+cost)
=(1/2)*t+(1/2)*ln|sint+cost|+C
=(1/2)*arcsinx+(1/2)*ln|x+√(1-x^2)|+C
其中C是任意常数

Answer 5

令x=3sina
dx=3cosada
√(9-x²)=3cosa
a=arcsin(x/3)

sina=x/3
则cosa=√(1-x²/9)=√(9-x²)/3

所以原式=∫(1-3sina)/3cosa*3cosada
=∫(1-3sina)da
=a+3cosa+C
=arcsin(x/3)+√(9-x²)/3+C