Question

求(1+x)(1+y)(1+z)=2xyz的正整数解

Answer 1

求(1+x)(1+y)(1+z)=2xyz的正整数解
x=2，y=4，z=15
x=2，y=5，z=9
x=2，y=6，z=7
x=2，y=7，z=6
x=2，y=9，z=5
x=2，y=15，z=4
x=4，y=2，z=15
x=5，y=2，z=9
x=6，y=2，z=7
x=7，y=2，z=6
x=9，y=2，z=5
x=15，y=2，z=4
x=15，y=4，z=2
x=9，y=5，z=2
x=7，y=6，z=2
x=6，y=7，z=2
x=5，y=9，z=2
x=4，y=15，z=2
x=3，y=3，z=8
x=3，y=4，z=5
x=3，y=5，z=4
x=3，y=8，z=3
x=4，y=3，z=5
x=5，y=3，z=4
x=8，y=3，z=3
x=5，y=4，z=3
x=4，y=5，z=3
共27组。

解析：
(1)不能有正整数解1，如x=1时，(1+y)(1+z)=yz无正整数解
(2)x=2时，有3+3y+3z+3yz=4yz，整理得
(y-3)(z-3)=12
根据对称性假设x≤y≤z
正整数解有：
x=2，y=4，z=15
x=2，y=5，z=9
x=2，y=6，z=7
(3)x=3时，有4+4y+4z+4yz=6yz，整理得
(y-2)(z-2)=6
根据对称性假设x≤y≤z
x=3，y=3，z=8
x=3，y=4，z=5
(4)x=4时，根据对称性假设x≤y≤z，有
(1+1/4)≥(1+1/x)≥(1+1/y)≥(1+1/z)
因为(1+1/4)(1+1/4)(1+1/4)=125/64≤2
所以(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)≤(1+1/x)(1+1/x)(1+1/x)≤(1+1/4)(1+1/4)(1+1/4)≤2
(1+x)(1+y)(1+z)=2xyz整理得(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=2
即(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=2无解。