Question

微分方程求解

求详细步骤

Answer 1

y''+y=-sin2x
特征方程为r²+1=0，r=±i
故y''+y=0的通解为y=C1 cosx+C2 sinx
因为±2i不是特征根，故设特解为y*=a sin2x+b cos2x
y*'=2a cos2x-2b sin2x
y*''=-4a sin2x-4b cos2x
带入原方程得-3a sin2x -3b cos2x=-sin2x
得a=1/3，b=0
故特解为y*=sin2x /3
故原方程的通解为y=C1 cosx+C2 sinx+sin2x /3
y'=-C1 sinx+C2 cosx +2/3 cos2x
y(π)=-C1=1，C1=-1，
y'(π)=-C2+2/3=1，C2=-1/3
故所求特解为y=-cosx - sinx /3 + sin2x /3

追问

我想知道 因为 ±2i不是特征根，是怎么得知的

追答

因为求的特征根是±i，故±2i不是特征根

追问

....

追答

你是不是想问±2i是怎么来的？
原方程等号右边-sin2x实际上相当于特征根是±2i（因为±2i对应的解是cos2x和sin2x）

Answer 2

如图所示：

Answer 3

1. 微分方程y''+y=-sin2x满足初始条件y(π)=1，y'(π)=1的特解为(C);

   ∵C:  y=-cosx-(1/3)sinx+(1/3)sin2x；满足y(π)=1；

   y'=sinx-(1/3)cosx+(2/3)cos2x;  满足y'(π)=1/3+(2/3)=1；

   y''=cosx+(1/3)sinx-(4/3)sin2x;

   代入原式满足：[cosx+(1/3)sinx-(4/3)sin2x]+[-cosx-(1/3)sinx+(1/3)sin2x]=-sinx;

Answer 4

Answer 5