Question

考研高数题 急 27题 求思路或者解答 ( k在这里怎么分析)

Answer 1

当然是讨论啦，K=0时，根为0，不是正根；K不为0 时，根为一个正根和0。

追问

k不为0时候 分析 需要构建f(x)求导 再用单调性吗

Answer 2

首先， x = 0 一定为方程的根。
k 有二种情况
1. k = 0 时，0 = x - ln(1 + x) 只有一个根，且根为 0， 所以无正根。
2. k ≠ 0 时， 令 f(x) = kx^2 - x + ln(1 + x)，求导得
f'(x) = 2kx - 1 + 1/(1+x) = x(2kx + 2k - 1)/(1 + x)
下面讨论导数的值的正负性。由于 我们只关心x>0的部分,由于分母恒正，则导数的正负性由分子决定，跟进一步由分子中括号里的部分决定。由 f'(x) = 0
可得 x1 = 0, x2 = (1 - 2k)/2k
当 k >= 1/2 时 x2 <= 0, 此时导数f'(x)在(0,+∞)上恒正，则f(x) 在(0,+∞)上单调增加，又由于x = 0 为零点，则正根个数为零，
当 0<k < 1/2 时, x2 >=0， 此时导数f'(x) 在(0,+∞)上先单调减小后单调增加，在x2处取得局部极小值，A = 2k(2k^2 -k + 1)/(k+1) + ln(1 + (1-2k)/2k)) > 0, 则 f(x) 在(0,+∞)上恒正。
当 k< 0 时， x2 >=0, 导数f'(x) 在(0,+∞)上先增加后减小，则可以断定，在(0,+∞)上存在唯一根。
讨论完毕