Question

2的（1/x）次方大于x的a次方，x∈（0,1）求实数a的范围

Answer 1

*2的（1/x）次方大于x的a次方，x∈（0,1）求实数a的范围
解析：设f(x)=2^(1/x)
F’(x)=2^(1/x)*ln2*(-1/x^2)<0，函数f(x)单调减
f(1)=2
设g(x)=x^a
g’(x)=ax^(a-1)
当a>0时，g’(x)>0，函数f(x)单调增
g(1)=1
∴当x∈（0,1）时，2^(1/x)>x^a，恒成立
当a<0时，g’(x)<0，函数f(x)单调减
令2^(1/x)=
x^a
二边取对数1/x*ln2=alnx
∴a=ln2/(xlnx)
设h(x)=
ln2/(xlnx)
H’(x)=
-ln2(lnx+1)/(xlnx)^2
令-ln2(lnx+1)=0==>lnx=-1==>x=1/e
函数h(x)在x=1/e处取极大值-eln2
∴当x∈(0,
1/e]
2^(1/x)
x^a;
∴当a∈(-eln2,+
∞)时，2^(1/x)>x^a，恒成立