Question

一道数学几何题

Answer 1

用重合法，bc上作等腰三角形（向内）bcq.
⊿dcq,⊿abq都是等腰三角形，∠dcq＝∠abq＝30°。
从而∠cdq＝∠cqd＝∠bqa＝∠baq＝75°.
∠qda＝∠qad＝15°.
直线dq与dp重合。
直线aq与ap重合。
q与p重合。⊿pbc为等边三角形。（等边三角形跟正三角形是一个意思）

或者用同一法
分别作角P'BC=角P'CB=60度,P'为BP'与CP'的交点
△P'BC等边三角形
角P'BA=30度
AB=BC=BP'
△P'BA为等腰三角形
角P'AB=75度
角P'AD=15度
同理角P'DA=15度
而在A,D处作15度角的边的交点只有一个
所以P'与P重合
所以，原命题成立

Answer 2

以b点位原点建立直角坐标系，直线PA和PD的斜率分别为tan15和-tan15，设边长为1，那么两直线的的方程可求出，进而求出p点坐标，p坐标为（1/2，2分之根号3），所以PAC为正三角形PAC

Answer 3

将△APD绕点D逆时针旋转90°，得△DP′C，
再作△DP′C关于DC的轴对称图形△DQC，
得△CDQ与△ADP经过对折后能够重合.
所以PD＝QD，∠PDQ＝90°－15°－15°＝60°，
所以△PDQ为等边三角形，
即∠PQD＝60°.
又因为∠DQC＝∠APD＝180°－15°－15°＝150°，
所以∠PQC＝360°－60°－150°＝150°＝∠DQC.
又因为PQ＝QD＝CQ，所以∠PCD＝∠DCP＝15°.
所以∠PCD＝30°，∠PBA＝30°，
所以∠PCB＝∠PBC＝60°.
所以△PBC为等边三角形.