Question

高中数学数列问题，急求

已知数列{an}满足a1=5，a2=5，a(n+1)=a(n)+6a(n-1)（n>=2，n∈N*），且当λ=2或λ=-3时，数列{a(n+1)+λa(n)}是等比数列
1.求数列{an}的通项公式
2.设（3^n）bn=n((3^n)-a(n)，且绝对值b1+绝对值b2+……+绝对值b(n)<m对于任意n属于N*恒成立，求m的取值范围

Answer 1

(1) a(n+1)=an+6a(n-1).===>a(n+1)+2an=3[an+2a(n-1)],或a(n+1)-3an=-2[an-3a(n-1)].====>[a(n+1)+2an]/[an+2a(n-1)]=3,或[a(n+1)-3an]/[an-3a(n-1)]=-2.===>a(n+1)+2an=5*3^n,或a(n+1)-3an=5*(-2)^n.两式相减得an=3^n-(-2)^n(n=1,2,3,...)(2)由前可知，3^n-an=(-2)^n.===>bn=n*(-2/3)^n.===>Sn=1*(2/3)¹+2*(2/3)²+3*(2/3)³+...+n*(2/3)^n.该式两边同乘以2/3,再相减可得(2/3)Sn=[(2/3)+(2/3)²+(2/3)³+...+(2/3)^n]-n(2/3)^(n+1)=2[1-(2/3)^n]-n*(2/3)^(n+1).===>Sn/3=2-(n+3)*(2/3)^(n+1)＜2.===>Sn＜6.(n=1,2,3...)故m≥6.

Answer 2

a(n+1)=a(n)+6a(n-1）给a1=5，a2=5代入可求出a3=35
a(n+1)+λa(n)是等比数列（当λ=2或λ=-3）
所以
a3+2a2=q(a2+2a1) 可得公比q为3
a3-3a2=q'(a2-3a1)可得公比q'为-2
所以
a(n+1)+2a(n)=(a2+2a1)*3^(n-1)
a(n+1)-3a(n)=(a2-3a1)*(-2)^(n-1)
代入数值
a(n+1)+2a(n)=15*3^(n-1)

a(n+1)-3a(n)=-10*（-2)^(n-1)
上式减下式 得
5an=15*3^(n-1)+10*（-2)^(n-1)
an=3^n+2*(-2)^(n-1)