Question

求lim (x+x²+x³+····+x的n次方—n)÷(x-1) x→1

Answer 1

问：求lim (x+x²+x³+····+x的n次方—n)÷(x-1) x→1

答：lim (x+x²+x³+····+x的n次方—n)÷(x-1) x→1得结果(1+n)n/2。之所以这样分析，是因为用罗比塔法官网的信息显示。lim (x+x²+x³+····+x的n次方—n)÷(x-1) x→1的具体做法如下，用罗比塔法，等价于求，1＋x＋x^2＋…＋x^(n－1)＝(x^n－1)/(x－1)当x趋近于1时的极限，再次用罗比塔法则得：nx^(n－1)当x趋近于1时的极限，显然这个极限是n，根据洛比达法，f(x)/g(x)趋近于0/0的形式时，f(x)/g(x)=f‘（x）/g'(x)，即分子分母分别求导后相除，lim (x+x²+x³+····+x的n次方—n)÷(x-1) x→1，故此题的极限等价于1+2x+3x^2+.....+nx^(n-1)在x=1处的值，即1+2+3...+n，用等差数列求和公式易得结果(1+n)n/2