Question

在三角形中,求证：tanB/2tanA/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1. 不要用到cot

Answer 1

证明：
用到两角和正切公式的变形
tan(M+N)=(tanM+tanN)/(1-tanMtanN)
∴ tanM+tanN=tan(M+N)*(1-tanMtanN)
∴ tanB/2tanA/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2
= tan(B/2)[tan(A/2)+tan(C/2)]+tan(C/2)*tan(A/2)
=tan(B/2)*tan(A/2+C/2)*[1-tan(A/2)tan(C/2)]+tan(C/2)tan(A/2)
=tan(B/2)*tan(π/2-B/2)*[1-tan(A/2)tan(C/2)]+tan(C/2)tan(A/2)
=[sin(B/2)/cos(B/2)]*[sin(π/2-B/2)/cos(π/2-B/2)]*[1-tan(A/2)tan(C/2)]+tan(C/2)tan(A/2)
=[sin(B/2)/cos(B/2)]*[cos(B/2)/sin(B/2)]*[1-tan(A/2)tan(C/2)]+tan(C/2)tan(A/2)
=1*[1-tan(A/2)tan(C/2)]+tan(C/2)tan(A/2)
=1-tan(C/2)tan(A/2)+tan(C/2)tan(A/2)
=1
∴ 原等式成立