Question

如何求不定积分

Answer 1

使用分部积分法

∫arcsinxdx

=∫arcsinx（x）'dx

=xarcsinx-∫xd(arcsinx)

=xarcsinx-∫x/√(1-x^2)dx

=xarcsinx+∫(1-x^2)'/√(1-x^2)dx

=xarcsinx+∫1/√(1-x^2)d(1-x^2)

=xarcsinx+2√(1-x^2)+C
分部积分法．

设u=u(x),v=v(x)有连续的导数，由(uv)'=u'v+uv'，得uv'=(uv)'-u'v两边积分，

向左转|向右转

式①称为分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法．

利用分部积分公式解题的关键是如何恰当的选取，选取原则是：

（1）要容易求出．

（2）要比原积分易求得．

Answer 2

• 例如∫(sinx)^4dx

=∫[(1/2)(1-cos2x]^2dx

=(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx

=(1/4)∫[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx

=(3/8)∫dx-(1/2)∫cos2xdx+(1/8)∫cos4xdx

=(3/8)∫dx-(1/4)∫cos2xd2x+(1/32)∫cos4xd4x

=(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C。



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• 例如∫lntanx/(sinxcosx)dx

分子分母同除以cos²x

=∫sec²x*lntanx/tanxdx

=∫lntanx/tanx d(tanx)

=∫lntanxd(lntanx)

=(1/2)ln²(tanx)+C。



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• 例如∫cscxdx

=∫1/sinxdx

=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)]dx，两倍角公式

=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)]d(x/2)

=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2)d(x/2)

=∫1/tan(x/2)d[tan(x/2)]，注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C

=ln|tan(x/2)|+C。



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• 求不定积分的目的

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。



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• 不定积分的性质

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。



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