Question

怎么证循环群的子群还是循环群？

Answer 1

设G为循环群,那么G有生成元x,使得任何非单位元g属于G,均存在最小的正整数n,满足g=x^n。\x0d\x0a因此若H是G的子群,其任何元素非单位元h,均有h=x^n的形式.\x0d\x0a不妨设d>0是满足x^d属于H的最小整数.我们下面证明x^d是H的生成元.\x0d\x0a任取x^a属于H(a>0).\x0d\x0a则x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n属于H。\x0d\x0a由Euclid辗转相除法知,存在m,n使得：\x0d\x0aam+dn=(a,d)>0,这表明x^((a,d))属于H,\x0d\x0a因为a=a1*(a,d),d=d1*(a,d),所以x^a,x^d可由x^((a,d))生成.\x0d\x0a因此(a,d)<=d.由于d是最小的故(a,d)=d.\x0d\x0a又x^a是在H中任意取的非单位元.\x0d\x0a故H中的任何元素均可由x^d生成.即H中的非单位元均是形如x^(dn)形式。故H是循环群.