Question

设实数X,Y满足x+2y=1(x≤0),则x²+y²的最小值是多少？

Answer 1

x=1-2y≤0 所以y>=1/2
设f=x²+y²,代入x=1-2y得
f=(1-2y)^2+y^2
=5y^2-4y+1
求导,f'=10y-4>0 (y>=1/2)
单调递增
所以f(1/2)=1/4为最小值~,1,因为x<=0，所以 y=(1-x)/2>=1/2
x²+y²
=(1-2y)^2+y^2
=5y^2-4y+1
=5(y-2/5)^2+1/5
上式在 [1/2，+无穷）上是增函数
所以最小值=5(y-2/5)^2+1/5|(y=1/2)
=1/4,1,x=1-2y
x²+y²=1-4y+4y²+y²
=5y²-4y+1
=5(y²-4y/5+4/25)+1/5
=5(y-2/5)²+1/5
有最小值1/5,0,