Question

设x，y，z为实数，且ex+yx+|z|=3，求证：exy2|z|≤1．

Answer 1

【答案】：因|z|=3-e^x-y²，设f(x，y)=e^xy²|z|-e^xy²(3-e^x-y²)，且x，y满足e^x+y²≤3．由于f_x(x，y)=e^xy²(3-2e^x-y²)，f_y(x，y)=2e^xy(3-e^x-2y²)，令f_x=0，f_y=0得驻点(0，±1)又因
f_xx(x,y)=e^xy²(3-4e^x-y²)， f_xy(x,y)=2e^xy(3-2e^x-2y²),
f_yy(x，y)=2e^x(3-e^x-6y²)且△(0，±1)=f_xx(0，±1)f_yy(0，±1)=f_xy²(0，±1)=12＞0，f_xx(0，±1)=-2＜0，所以(0，±1)是f(x，y)的极大值点，极大值为f(0，±1)=1．在边界e^x+y²=3上，f(x，y)恒为零，因此,f(x，y)在闭区域e^x+y²≤3上的最大值为1，即f(x，y)≤1，从而有e^xy²|z|≤1．