Question

高数二阶非齐次微分方程怎么解

Answer 1

二次非齐次微分方程的一般解法\x0d\x0a一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)\x0d\x0a第一步：求特征根\x0d\x0a令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）\x0d\x0a第二步：通解\x0d\x0a1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)\x0d\x0a2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)\x0d\x0a3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)\x0d\x0a第三步：特解\x0d\x0af(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）\x0d\x0a则y*=x^k*Q(x)*e^（λx）(注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)\x0d\x0a1、若λ不是特征根k=0y*=Q(x)*e^（λx）\x0d\x0a2、若λ是单根k=1y*=x*Q(x)*e^（λx）\x0d\x0a3、若λ是二重根k=2y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）\x0d\x0af(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx\x0d\x0a1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)\x0d\x0a2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）\x0d\x0a第四步：解特解系数\x0d\x0a把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。\x0d\x0a最后结果就是y=通解+特解。\x0d\x0a通解的系数C1，C2是任意常数。\x0d\x0a拓展资料：\x0d\x0a\x0d\x0a微分方程\x0d\x0a\x0d\x0a微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。\x0d\x0a\x0d\x0a高数常用微分表\x0d\x0a\x0d\x0a唯一性\x0d\x0a\x0d\x0a存在定一微分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。