Question

设A为n阶方阵,已知矩阵+A-E+不可逆,则A^+3有一个特征值1,是对的吗,注意是A^3

Answer 1

问：设A为n阶方阵,已知矩阵+A-E+不可逆,则A^+3有一个特征值1,是对的吗,注意是A^3

问：告诉我对不对就行，不要过程

问：设A为n阶方阵,已知矩阵A-E不可逆,则A^+3有一个特征值1,是对的吗,注意是A^3

问：设A为n阶方阵,已知矩阵A-E不可逆,则A^3有一个特征值1,是对的吗,注意是A^3

答：不一定正确。首先，根据题意可知：矩阵A+I不可逆，其中I为n阶单位矩阵。因此，-1不是A的特征值，否则A-(-I)可逆。考虑A的特征值。设λ为A的特征值，则有：|A-λI|=0|A-λI+E-E|=0|(A+I)-λI|*|E|=0因为矩阵A+I不可逆，所以矩阵A+I没有非零特征值，因此：|A+I-λI|=0

问：设A为n阶方阵,已知矩阵A-E不可逆,则A^3有一个特征值1,是对的吗,注意是A^3

答：即：|(A+I)-λI|=(1-λ)^n因为A+I不可逆，所以1不是A的特征值，否则A+I-1I=AI不可逆。因此，A的特征值都不是1。考虑A^3的特征值。设μ为A^3的特征值，则有：|A^3-μI|=0因为A的特征值λ不是1，所以：(λ^3-μ)^k≠0其中k为A的代数重数。因此：(λ-μ^(1/3))^3k≠0即：|A-μ^(1/3)I|^(3k)=0因此μ^(1/3)是A的特征值。因为A+I不可逆，所以A+I-μI=A-μI+I不可逆。因此，μ≠-1。综上，A^3的特征值中只有可能有μ^(1/3)，其中μ≠-1。因此，A^3的特征值有可能为1，也有可能不为1。

答：不一定对