Question

14.求函数 z=xe^2y 在点P(2,1)处沿 (T)=(1,-1) 方向的方向导数

Answer 1

问：14.求函数 z=xe^2y 在点P(2,1)处沿 (T)=(1,-1) 方向的方向导数

答：你好，函数 z=xe^2y 在点 P(2,1) 处沿 (T)=(1,-1) 方向的方向导数可以通过以下步骤计算：1. 首先，计算点 P(2,1) 处的梯度 ∇f(x,y)，其中 f(x,y) = xe^(2y)。梯度的表达式为 ∇f(x,y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。 对于这个函数，我们有 ∂f/∂x = e^(2y) 和 ∂f/∂y = 2xe^(2y)。将 x=2，y=1 代入上述式子，得到 ∇f(2,1) = (e^2, 4e^2)。2. 接下来，计算单位向量 (T)=(1,-1) 的方向向量 v，并确保它是一个单位向量（长度为1）。 计算 v 的长度：|v| = sqrt((1)^2 + (-1)^2) = sqrt(2)。 单位向量的方向向量：v_hat = (1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) = (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2)。3. 最后，计算方向导数 D_vf(P)。方向导数的表达式为 D_vf(P) = ∇f(P)·v_hat，其中 "·" 表示向量的点积运算。 将 ∇f(2,1) = (e^2, 4e^2) 和 v_hat = (sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2) 代入上述式子，得到： D_vf(P) = (e^2, 4e^2)·(sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2) = e^2(sqrt(2)/2) + 4e^2(-sqrt(2)/2) = (e^2 - 2e^2*sqrt(2))/sqrt(2) = e^2(1 - sqrt(2))/sqrt(2)所以，函数 z=xe^2y 在点 P(2,1) 处沿 (T)=(1,-1) 方向的方向导数为 e^2(1 - sqrt(2))/sqrt(2)

答：亲，这是具体的解答步骤呢