Question

如图E,F为三角形ABC边AB,BC上的中点，G,H为AC的三等分点延长EG,FH交于点D，求证四边形ABCD为平行四边形

不用相似

Answer 1

证明：
取EG的中点O,连BO,BG
∵G,F是AC的三等分点，
∴F是AG中点，G是FC的中点，
∵D,E是AB,BC的中点。
∴DF是△ABG的中位线，BG//FH.
同理，BF//GH
∴四边行BGHF是平行四边行，
∴BO=OH,AO=OC,
∴四边形BCHA是平行四边形。

Answer 2

E,F为三角形ABC边AB,BC上的中点，则EF‖AC，GH‖AC
BM/MN=BE/AE=1,所以BN=MN
GH=(1/3)AC,EF=(1/2)AC
所以DM/（DM+MN）=GH/EF =2/3,所以DM=2MN=MN+BN=BM,所以M是BD中点
GM/EN=DM/（DM+MN）=2/3 , EN/AM=BE/AB=1/2，所以GM/AM=1/3
GM/(AG+GM)=1/3,GM=(1/2)AM=(1/2)GH,所以 GM=MH,GM+AG=MH+HC,所以AM=MC
所以M是AC中点 又因为M是BD中点 ，所以四边形ABCD为平行四边形

Answer 3

连接BD脚AC于M，交EF于N
E,F为三角形ABC边AB,BC上的中点，则EF‖AC，GH‖AC
BM/MN=BE/AE=1,所以BN=MN
GH=(1/3)AC,EF=(1/2)AC
所以DM/（DM+MN）=GH/EF =2/3,所以DM=2MN=MN+BN=BM,所以M是BD中点
GM/EN=DM/（DM+MN）=2/3 , EN/AM=BE/AB=1/2，所以GM/AM=1/3
GM/(AG+GM)=1/3,GM=(1/2)AM=(1/2)GH,所以 GM=MH,GM+AG=MH+HC,所以AM=MC
所以M是AC中点 又因为M是BD中点 ，所以四边形ABCD为平行四边形