Question

若A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,若AB=0,则r(A)+r(B)<=n

这个命题是否成立，若成立请简单说明，不成立请举反例。

Answer 1

最简单的证明方法是运用齐次方程组的解空间的知识:
记
b=(b1,b2,……,bs)
,
由
ab=0
,
知
b1,b2,……,bs
是
ax=0
的解
记
r(b)=r
,
说明
b1,b2,……,bs
中有
r
个向量线性无关
即
ax=0
的解空间s中至少有
r
个向量,即
dims≥r
由解空间维度的关系:
dims=n-r(a)≥r
即
n
≥
r(a)+r
=
r(a)+r(b)

Answer 2

考虑两个线性空间：
(1)
B的列空间，即B的各列向量张成的线性空间。它的维数即是B的列秩，等于B的秩，即r(B)。
(2)
Ax=0的解空间，即Ax=0的所有解组成的线性空间。由基本定理，它的维数=n-r(A)。
现在有AB=0，所以B的各列向量均是Ax=0的解。这说明(1)是(2)的子空间，所以(1)的维数<=(2)的维数。得r(B)<=n-r(A)，即r(A)+r(B)<=n。
这个结论也可以看成Sylvester秩不等式的特例：
对任意m*n矩阵A，n*s矩阵B，有r(A)+r(B)<=r(AB)+n。

Answer 3

考虑两个线性空间：
(1) B的列空间，即B的各列向量张成的线性空间。它的维数即是B的列秩，等于B的秩，即r(B)。
(2) Ax=0的解空间，即Ax=0的所有解组成的线性空间。由基本定理，它的维数=n-r(A)。
现在有AB=0，所以B的各列向量均是Ax=0的解。这说明(1)是(2)的子空间，所以(1)的维数<=(2)的维数。得r(B)<=n-r(A)，即r(A)+r(B)<=n。

这个结论也可以看成Sylvester秩不等式的特例：
对任意m*n矩阵A，n*s矩阵B，有r(A)+r(B)<=r(AB)+n。