Question

高中数学 圆与方程

已知△ABC的顶点A（3，-1），AB边上的中线所在直线方程为3x+7y-19=0，AC边上的高所在直线方程为6x-5y-15=0。求BC边所在直线的方程。

Answer 1

AC边上的高BD的斜率为：k=6/5
AC所在直线方程为：y=-5x/6 + b 代入A（3，-1）得：b=3/2
y=-5x/6 + 3/2
C点为直线 3x+7y-19=0与y=-5x/6 + 3/2交点
解得：C(-3,4)
设B点坐标为：B（x,y）CE为AB边中线，E在AB上，E点坐标（x0,y0）
x0=(x+3)/2 y0=(y-1)/2
将E点坐标代入中线方程： 3(x+3)/2 +7(y-1)/2 -19=0
得到过B点与CE平行的直线： 3x+7y-36=0
与BD方程联立，解得B点坐标：B（5，3）
BC直线方程为：x+8y-29=0

Answer 2

解：因为AC边上的高的方程为6x-5y-15=0，其斜率为：k=6/5，故边AC所在直线的斜率为-（5/6），可设其方程为：y=（-5/6）x + b ，将点A（3，-1）代入得：b=3/2 即AC: y=（-5/6 ）x+ 3/2;
又C点为直线 3x+7y-19=0与y=（-5/6 ）x+ 3/2的交点，所以由方程3x+7y-19=0与y=（-5/6 ）x+ 3/2联立，解得C(-3,4)。
设B点坐标为：B（x,y），AB的中点为E，则有E（(x+3)/2 ,(y-1)/2）
将E点坐标代入中线方程：3x+7y-19=0，得 3(x+3)/2 +7(y-1)/2 -19=0
从而，过B点与CE平行的直线： 3x+7y-36=0
将方程3x+7y-36=0与6x-5y-15=0联立，解得B点坐标：B（5，3）
所以直线BC的方程为：x+8y-29=0