Question

----------------数列题!!!!!!!!!!已知数列{an}的前n项和Sn= - an- 1/2^(n-1)+2 (n∈N*)

已知数列{an}的前n项和Sn= - an- 1/2^(n-1)+2 (n∈N*)
（1）求数列{an}的通项公式
（2）证明：a1^2/a2 + a2^2/a3 + a3^2/a4 + …+a2009^2/a2010 +a2010^2/a1 > a1+a2+…+a2010

Answer 1

sn=-an-1/2^(n-1)+2
s(n-1)=-a(n-1)-1/2^(n-2)+2
sn-s(n-1)=-an+a(n-1)-1/2^(n-1)+1/2^(n-2)
an=-an+a(n-1)+1/2^(n-2)*(-1/2+1)
2an=a(n-1)+1/2^(n-1)
2^n*an=2^(n-1)*a(n-1)+1
bn=2^n*an,bn=b(n-1)+1,s1=-a1-1/1+2,2a1=1,a1=1/2
b1=2^1*a1=1
bn=n
an=n/2^n
a²n/a(n+1)/an=an/a(n+1)=(n/2^n)*(2^(n+1)/(n+1))
=2n/(n+1)=(n+1+n-1)/(n+1)=1+(n-1)/(n+1)≥1(n=1时取等号)
a²n/a(n+1)≥an(n=1时取等号)
a²1/a2=a1
a²2/a3>a2
a²3/a4>a3
...
a²2010/a2011>a2010
相加得
a1^2/a2 + a2^2/a3 + a3^2/a4 + …+a2009^2/a2010 +a2010^2/a1 > a1+a2+…+a2010

Answer 2

(1)a1=S1=-a1-1+2 所以a1=1/2
Sn= - an- 1/2^(n-1)+2 S(n-1)= - a(n-1)- 1/2^(n-2)+2
两式相减可得 an=-an+a(n-1)+1/2^(n-2)-1/2^(n-1)
=-an+a(n-1)+1/2^(n-1) (n》2）
即 an=1/2a(n-1)+1/2^n
左右两边乘以2^n 可得 an2^n=a(n-1)2^(n-1)+1
令bn=an2^n 则bn=b(n-1)+1 b1=2a1=1 bn=n
an=n/2^n