Question

已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，在[0,1]上f(x)=2^x+ln(x+1)-1

（1）求函数f(x)的解析式；并判断f(x)在[-1,1]上的单调性（2）解不等式f(2x+1)+f(1-x^2)≥0

Answer 1

1、(1)解：∵在[0,1]上f(x)=2^x＋ln(x＋1)－1令﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1∴f（﹣x）=2^（﹣x）＋ln(﹣x＋1)－1...........①又f（x）为奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x).........②∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1 , x∈[﹣1,0]...........{ ﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1 , x∈[﹣1,0] ∴f(x)={ 2^x＋ln(x＋1)－1 , x∈[0,1]........................................................................................................(2)易知y=2^x, y=ln(x＋1)在区间【0，1】上均为增函数。∴f(x)=2^x＋ln(x＋1)－1在区间【0，1】上也为增函数。又由奇函数在对称区间的单调性相同知，∴函数f(x)=﹣2^（﹣x）－ln(﹣x＋1)＋1在【﹣1,0】上也为增函数。即：函数f(x在【﹣1,1】上为增函数。......................................................................................................