Question

泰勒公式拉格朗日型余项的表达式怎么推导的呀！

看了我一个下午也看不懂！！！
G(t)的导数怎么求出来的啊？就这一点整整卡了我一个下午啊！

Answer 1

罗尔定理，
对一个函数y=f(x),
在[x1,x2]上，有f(x1)=f(x2)=0
f(x)连续可导,而且导函数连续，则存在一点μ∈（x1,x2），使得f'(μ）=0
（用连续函数的最大值最小值定理以及可导函数的求导的定义式可以证明）

则考虑连续可导函数y=g(x),在[a,b]上，
构造函数：
G(x)=g(x)-(g(a)-g(b))/(a-b)·x+(b·g(a)-a·g（b))/(a-b)
则G(a)=G(b)=0
G(x)在[a,b]上连续可导,而且导函数连续，由罗尔定理
存在一点μ∈（a,b）,G'(μ）=0
即：g'(μ）=(g(a)-g(b))/(a-b)
上式就是拉格朗日定理

由带佩亚诺余项的泰勒公式有：
对于n阶可导的函数f(x),
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…
+f(n-1)(x0)(x-x0)^(n-1)/(n-1)!+o[(x-x0)^(n-1)]

（o[(x-x0)^(n-1)]=f(n)(x0)(x-x0)^(n)/n!
对两边求n-1次导数有：f(n-1)(x)=f(n-1)(x0)+f(n)(x0)·(x-x0)
移项有：f(n)(x0)=[f(n-1)(x)-f(n-1)(x0)]/(x-x0)
由导数的定义式可得，（x-x0）→0时，两边相等，得证）

下证带有拉格朗日型余项的泰勒公式：
对于存在直到n+1阶连续导函数的函数f(x),
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…
+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!+f(n+1)(μ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!
μ∈（x0,x)
两边求n次导数
f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)
对比拉格朗日定理，由于存在n+1阶导数
f(n)(x)在[x0,x]上连续可导,而且导函数连续
由拉格朗日定理：
存在一点μ∈（x0,x），f'(n)(μ）=(f(n)(x)-f(n)(x0))/(x-x0)
即得：f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)
证毕

Answer 2

注意G(t)是t的函数, 在对t求导时x是视为常数的.
因此G'(t) = (f(x))'-(∑{0 ≤ k ≤ n} 1/k!·f^(k)(t)·(x-t)^k)'
= -∑{0 ≤ k ≤ n} 1/k!·(f^(k)(t)·(x-t)^k)'
= -∑{0 ≤ k ≤ n} 1/k!·(f^(k+1)(t)·(x-t)^k+f^(k)(t)·k(x-t)^(k-1)·(x-t)')
= -∑{0 ≤ k ≤ n} 1/k!·(f^(k+1)(t)·(x-t)^k-f^(k)(t)·k(x-t)^(k-1))
= -∑{0 ≤ k ≤ n} 1/k!·f^(k+1)(t)·(x-t)^k + ∑{0 ≤ k ≤ n} 1/k!·f^(k)(t)·k(x-t)^(k-1)
= -∑{0 ≤ k ≤ n} 1/k!·f^(k+1)(t)·(x-t)^k + ∑{1 ≤ k ≤ n} 1/k!·f^(k)(t)·k(x-t)^(k-1)
= -∑{0 ≤ k ≤ n} 1/k!·f^(k+1)(t)·(x-t)^k + ∑{1 ≤ k ≤ n} 1/(k-1)!·f^(k)(t)·(x-t)^(k-1)
= -∑{0 ≤ k ≤ n} 1/k!·f^(k+1)(t)·(x-t)^k + ∑{0 ≤ k ≤ n-1} 1/k!·f^(k+1)(t)·(x-t)^k
= -1/n!·f^(n+1)(t)·(x-t)^n.

在变形时我已经尽量把过程写得详细了.
如果哪一步不明白请追问.

Answer 3

就是一个一个求导呀。
G(t) = f(x) - Σ_{k从0到n} (1/k!) f^(k)(t) (x-t)^k
对t求导，第1项 f(x) 就没了。
后面n+1项中，第k项 (1/k!) f^(k)(t) (x-t)^k 对 t 求导为：
(1/k!) f^(k+1)(t) (x-t)^k - (1/(k-1)!) f^(k)(t) (x-t)^(k-1)
如果把这n+1个导数加起来，那么会一一抵消。
为了看清这点，我们写出第 k+1 项 (1/(k+1)!) f^(k+1)(t) (x-t)^(k+1) 的导数：
(1/(k+1)!) f^(k+2)(t) (x-t)^(k+1) - (1/k!) f^(k+1)(t) (x-t)^k
可见，上面2个导数中，分别有2项抵消了。

所以，最后n+1个导数加起来，只剩下：
(1/n!) f^(n+1)(t) (x-t)^n

所以，G'(t) = -(1/n!) f^(n+1)(t) (x-t)^n