Question

已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED

求证BE=CD.
若AB=4,AD=7,求△EFD的周长。

Answer 1

证明：

1）
因为：EF⊥ED
所以：∠DEF=90°，∠BEF+∠CED=90°
因为：∠BEF+∠BFE=90°
所以：∠BFE=∠CDE
因为：∠EBF=∠DCE
因为：EF=DE
所以：RT△EBF≌RT△DCE角（角角边）
所以：BE=CD
2）
因为：BE=CD=AB=4，CE=BC-BE=AD-CD=7-4=3

所以：CE=BF=3
所以：AF=AB-BF=4-3=1
根据勾股定理有：
EF^2=BE^2+BF^2=4^2+3^2=25，EF=ED=5
所以：FD^2=EF^2+ED^2=50，FD=5√2
所以：三角形EFD的周长=5+5+5√2=10+5√2
所以：周长为10+5√2

Answer 2

证明：因为EF⊥ED
所以∠FED=90°
所以∠BEF+∠DEC=90°
又因为∠C=90°
所以∠DEC+∠EDC=90°
所以∠BEF=∠EDC
因为EF=ED
∠B=∠C
所以△BEF≌△CDE
所以BE=CD
又因为BA=CD
所以BE=BA
所以∠BAE=∠BEA(等边对等角）
因为BC∥AD
所以∠BEA=∠EAD
所以∠BAE=∠EAD
即:AE平分∠BAD

Answer 3

(1)角BEF+角BFE=90 角BEF+角CED=90 角CED+角CDE=90
所以角BFE=角CED 所以三角形BEF 与三角形CDE全等
所以BE=CD
(2)AB=CD=BE=4 CE=BC-BE=7-4=3
所以EF=ED=5 DF=5根号2
周长=5+5+5根号2 =10+5根号2

Answer 4

（1）证明：矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵EF⊥ED，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠2，又EF=ED，
∴△BFE≌△CED，
∴BE=CD；

（2）解：矩形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=7，
∵△BFE≌△CED，
∴BE=CD=4，
∴EC=3，
∴ED=5，
∴EF=ED=5，
∴FD=5
2
，
∴△EFD的周长=10+5
2
．

Answer 5

证明:∵EF=ED,EF⊥ED
∴∠CED﹢∠BEF＝90°
∵ABCD为矩形
∴∠B＝∠C＝90°
∴∠BEF﹢∠BFE＝90°
∴∠CED＝∠BFE
同理可证∶∠BEF＝∠EDC
又EF=ED
∴△BEF≌△CDE
∴BE=CD
又BA=CD
∴BE=BA
∴∠BAE＝∠BEA＝45°
∵∠BAD=90°
∴∠EAD=90°
即∠BAD＝∠EAD
∴AE平分∠BAD