Question

对于函数 的定义域为D,如果存在区间 同时满足下列条件:① 在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时, 的

对于函数 的定义域为D,如果存在区间 同时满足下列条件:① 在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时, 的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是该函数的“H区间”.若函数 存在“H区间”,则正数 的取值范围是____________.

Answer 1

对于函数 的定义域为D,如果存在区间 同时满足下列条件: ① 在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时, 的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是该函数的“H区间”.若函数 存在“H区间”,则正数 的取值范围是____________.

试题分析：当 时， ， ， ，得 ，得 ，此时函数 为单调递增，当 时，取得最大值，当 时，取得最小值，即 ，即方程 有两解，即方程 有两解，作出 的图像，由图像及函数的导数可知，当 时， 在 时取得最小值 ，在 时， ，故方程 有两解， ，即 ，故 的取值范围为 ； 当 时，函数 为单调递减，则当 时，取得最大值，当 时，取得最小值，即 ，两式相减得， ，即 ，不符合； 当 时，函数 为单调递减，则当 时，取得最大值，当 时，取得最小值，即 ，两式相减可以得到 ，回带到方程组的第一个式子得到 ，整理得到 ，由图像可知，方程有两个解，则 综上所述，正数 的取值范围是 ．