Question

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H． 求证：①PF=PA； ②AH+BD=AB．

Answer 1

证明：①∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=

1

2

（∠CAB+∠CBA）=45°，
∴∠APB=135°，
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP和△FBP中，

∠ABP＝∠PBF BP＝BP ∠APB＝∠FPB

，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴PA=PF，

②∵△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠F，
∵∠BAP=∠CAD，
∴∠F=∠CAD，
在△APH和△FPD中，

∠APH＝∠FPD PA＝PF ∠PAH＝∠PFD

，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．