Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的离心率为 3 2 ，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

Answer 1

（1）由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，∴b= 2 2 = 2 ． 因为离心率e= c a = 3 2 ，所以 b a = 1 2 ，所以a=2 2 ． 所以椭圆C的方程为 x 2 8 + y 2 2 =1 ． （2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x 0 ，y 0 ），（-x 0 ，y 0 ），则直线PM的方程为y= y 0 -1 x 0 x+1，① 直线QN的方程为y= y 0 -2 -x 0 x+2．②…（8分） 设T（x，y），联立①②解得x 0 = x 2y-3 ，y 0 = 3y-4 2y-3 ．…（11分） 因为 x 0 2 8 + y 0 2 2 =1 ，所以 1 8 （ x 2y-3 ） 2 + 1 2 （ 3y-4 2y-3 ） 2 =1． 整理得 x 2 8 + (3y-4) 2 2 =（2y-3） 2 ，所以 x 2 8 + 9y 2 2 -12y+8=4y 2 -12y+9，即 x 2 8 + y 2 2 =1 ． 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…（14分）