Question

已知三个正数a，b，c满足a2，b2，c2成等差数列，求证1a+b，1a+c，1b+c也成等差数列

已知三个正数a，b，c满足a2，b2，c2成等差数列，求证1a+b，1a+c，1b+c也成等差数列．

Answer 1

∵三个正数a，b，c满足a²，b²，c²成等差数列，
∴a²+c²=2b²，
∵

1

a+b

+

1

b+c

=

a+2b+c

(b+c)(a+b)

，
∴要使

a+2b+c

(b+c)(a+b)

=

2

a+c

成立，
则等价为2ab+2b²+2bc+2ac=a²+2ab+ac+ac+2bc+c²，
化简得2b²=a²+c²，此式成立，
∴结论成立．
综上证

1

a+b

，

1

a+c

，

1

b+c

也成等差数列．