Question

已知等差数列{an}的公差d＞0，且a4+a6=10，a4?a6=24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝1an?an+1

已知等差数列{an}的公差d＞0，且a4+a6=10，a4?a6=24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝1an?an+1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥M对任意n∈N*恒成立，求整数M的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）依题意知

(a1+3d)+(a1+5d) ＝10 (a1+3d)(a1+5d) ＝24

，
∵d＞0，∴a₁=1，d=1．∴a_n=n，n∈N^*．
（Ⅱ）∵bn＝

1

an?an+1

，n∈N*，a_n=n，
∴bn＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1?

1

2

) +(

1

2

?

1

3

)  +…+(

1

n

?

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
由T_n≥M对一切实数恒成立，即1?

1

n+1

≥M对一切n∈N^*恒成立．
当n∈N^*时，∵Tn+1?Tn＝(1?

1

n+2

)?(1?

1

n+1

) ＝

1

n+1

?

1

n+2

＞0，
∴数列T_n是增数列，故由T_n≥M对一切实数恒成立可得T₁≥M，即M≤

1

2

．
又M∈Z，故M的最大值是0．