Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD=AD=1．（1

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD=AD=1．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

解答：解：（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ
∵△PBA中，M、Q分别为PA、PB的中点，
∴MQ∥AB，结合AB∥CD得MQ∥CD
∵MQ?平面PCD，CD?平面PCD，
∴MQ∥平面PCD，同理可得NQ∥平面PCD，
∵MQ、NQ是平面MNQ内的相交直线
∴平面MNQ∥平面PCD，
∵NM?平面MNQ
∴MN∥平面PCD；
（2）∵正方形ABCD的边长等于1
∴三角形ACB的面积为S_△ABC=

1

2

S_ABCD=

1

2

．
又∵PD⊥底面ABCD，且PD=1，
∴三棱锥P-ABC的高为1，因此三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S_△ABC?PD=

1

6

．