Question

如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．（1）若AD=3，BD=4，求

如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．

Answer 1

（1）∵AB为直径， ∴∠ADB=90°，即BD⊥AC． 在RT△ADB中，∵AD=3，BD=4， ∴由勾股定理得AB=5． ∵∠ABC=90°，BD⊥AC， ∴△ABD ∽ △ACB， ∴ BD AD = BC AB ， 即 4 3 = BC 5 ， ∴BC= 20 3 ； （2）证明：连接OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD； 又∵E是BC的中点，BD⊥AC， ∴DE=BE， ∴∠EDB=∠EBD． ∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°， 即∠ODE=90°， ∴DE⊥OD． ∴ED与⊙O相切．