Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，12）上无零点，求a的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，
则f′(x)＝1?

2

x

，由f′（x）＞0，得x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，

1

2

）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，

1

2

）上无零点，只要对任意的x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x?1

恒成立．
令l′(x)＝2?

2lnx

x?1

，x∈（0，

1

2

），
则l′(x)＝?

2 x (x?1)?2lnx

(x?1)2

＝

2lnx+ 2 lnx ?2

(x?1)2

，
再令m(x)＝2lnx+

2

x

?2，x∈（0，

1

2

），则m′(x)＝?

2

x2

+

2

x

＝

?2(1?x)

x2

＜0，
故m（x）在（0，

1

2

）上为减函数，于是m（x）＞m(

1

2

)＝2?2ln2＞0，
从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，

1

2

）上为增函数，
所以l（x）＜l(

1

2

)＝2?4ln2，
故要使a＞2-

2lnx

x?1

恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在（0，

1

2

）上无零点，则a的最小值为2-4ln2．