Question

设双曲线C：x2a2?y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A1，A2，过F且与双曲线C的一条渐近线平

设双曲线C：x2a2?y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A1，A2，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为______．

Answer 1

假设过焦点F（c，0）与渐近线y＝?

b

a

x平行的直线y＝?

b

a

(x?c)与渐近线y＝

b

a

x相交，
联立

y＝? b a (x?c) y＝ b a x

，解得

x＝ c 2 y＝ bc 2a

，得到P(

c

2

，

bc

2a

)，
∵若P恰好在以A₁A₂为直径的圆上x²+y²=a²，
∴(

c

2

)2+(

bc

2a

)2=a²，化为c²a²+b²c²=4a⁴，即c⁴=4a⁴，化为c²=2a²．
∴e＝

c

a

＝

c2 a2