Question

判断∞n＝1arctan1n2+n+1的敛散性，若收敛，求出和S

判断∞n＝1arctan1n2+n+1的敛散性，若收敛，求出和S．

Answer 1

设tanα=n+1，tanβ=n，悔森则tan（α-β）=

tanα?tanβ

1+tanαtanβ

＝

1

n2+n+1

．．
从而有迟如arctan

1

n2+n+1

=α-β=arctan（n+1）-arcn，
于是S_n=

n

k＝1

arctan

1

k2+k+1

＝码前启(arctan2?arctan1)+(arctan3?arctan2)
+…（arctan（n+1）-arctann）=arctan（n+1）-arctan1．
由

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

[arctan(n+1)?arctan1]=

π

2

?

π

4

＝

π

4

，
知级数

∞

n＝1

arctan

1

n2+n+1

收敛，且和为S=

π

4

．