Question

已知函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)+g(b)-2g( )

已知函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)+g(b)-2g( )＜(b-a)ln2。

Answer 1

(Ⅰ)解：函数f(x)的定义域是(-1，+∞)， ， 令f′(x)=0，解得x=0， 当-1＜x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0， 又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0。 (Ⅱ)证明：g(a)+g(b)-2g( )=alna+blnb-(a+b)ln = ， 由(Ⅰ)的结论知ln(1+x)-x＜0(x＞-1，且x≠0)， 由题设0＜a＜b，得 ， 因此 ， 所以 ， 又 ， ， 综上0＜g(a)+g(b)-2g( )＜(b-a)ln2。