Question

已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的

已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1Sn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．

Answer 1

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是等差数列，且S₅=70，
∴5a₁+10d=70，
又a₂，a₇，a₂₂成等比数列，
∴a72＝a2a22，∴(a1+6d)2＝(a1+d)(a1+21d)，
解得a₁=6，d=4，或a₁=14，d=0（舍），
∴a_n=4n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn =2n²+4n，
∴

1

Sn

=

1

2n2+4n

=

1

4

(

1

n

?

1

n+2

)，
∴Tn ＝

1

4

(1?

1

3

+

1

2

?

1

4

+

1

3

?

1

5

+…+

1

n?1

?

1

n+1

+

1

n

?

1

n+2

)
=

3

8

?

1

4

(

1

n+1

+

1

n+2

)．
∵T_n+1-T_n=

1

4

(

1

n+1

?

1

n+3

)＞0，
∴数列{T_n}是递增数列，
∴Tn≥T1＝

1

6

，
∴T_n的最小值为

1

6

．