Question

初三几何：在矩形ABCD中，AD=6cm，AB=8cm，点E为AD中点，连接BD、BE。

在矩形ABCD中，AD=6cm，AB=8cm，点E为AD中点，连接BD、BE。
（1）如图1，点P在DC上，若DP=3cm，连接AP，与BD、BE分别交于点M、N。
①求MP：MA的值。
②求MN的长。
（2）如图2，动点P从点D出发，在射线DC上运动，运动速度为1cm/s，连接AP，与BD、BE分别交于点M、N。设点P运动时间为x（s），当x为多少时，△DMN是直角三角形？

Answer 1

（1）

①  因为：DP∥AB

所以：△DPM∽△BAM

所以：PM/MA=DP/AB

即：PM/MA=3/8

也就是：PM:MA=3:8

②  如图

（2）如图。

Answer 2

1. (1)由于是矩形，DP平行于AB，三角形DMP与三角形AMB相似，MP:MA=DP:AB=3:8

   (2)过M作AB的垂线，交BE于S点，交AB于T点，有MNS与ANE相似，由于P将MT平分，则(1)中得MT=8/11*AD=48/11，MS=24/11,MS:AE=MN:AN，可求出AP=3根号5，AM=8/11*AP，MN=24/57*8/11*AP

2. 有两种可能，即角DMN为直角与角DNM为直角。当DM:AD=AD:BD时，角DMN为直角，此时DP=3/5*AD*5/4=4.5,x1=4.5s

   过N作AB的垂线，交AB于Q点，角DNM为直角时，EN=1/2*AD=3，EB=根号73，可求出NQ=3-9/EB，AQ=24/EB，可算出AN的长约为3.42，AN:AD=AD:AP,有AP>10,故不存在另一情况。

Answer 3

（1）①由△DPM∽△BAM，得出MP：MA=DP：BA=3/8。
②过M作MG∥AD交NB于G。则△AEN∽△MGN，△BMG∽△BDE。
所以有MN/AN=MG/AE=MG/DE=BM/BD=8/11，即MN/AM=8/19。又AM=8AP/11。AP=3√5。
所以MN=64×3√5/19×11=192√5/209。
（2）DP=x，则DM=xBD/(x+8)，当△DMN为直角三角形。也就是∠DMP=90°。此时△DMP∽ADP。有DM/DP=AD/AP，AP=√(36+x²)。化解得4x²-36x+81=0。即(2x-9)²=0，所以x=9/2