Question

证明线性无关的方法 如图，为什么一个线性无关组乘以一个可逆矩阵，得到的矩阵里的向量组也线性无关？

Answer 1

右乘可逆矩阵等同于对原矩阵进行初等列变换，初等变换不改变线性无关性。

在一组数据中有一个或者多个量可以被其余量表示。线性无关，就是在一组数据中没有一个量可以被其余量表示。从维数空间上讲，例如，一个三维空间，那么必须用三个线性无关的向量来表示，如果在加上另外一个向量，那么这个向量必然可以由上述三个向量唯一的线性表出。

在三维空间里，互相垂直的三个坐标轴就是一组最简单的现行无关的向量。并且是三维空间上的极大无关组。其实，只要是不在同一平面的三个互不平行的向量都可以组成三维空间上的极大无关组。那也就是线性无关的。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。

扩展资料

矩阵A式n阶可逆矩阵的等价条件:

1、A的行列式不等于0

2、A的秩等于n，即A为满秩矩阵

3、A的行（列）向量组线性无关

4、 齐次方程组Ax=0只有零解

5、 对于任意b属于Rn(n为上标，表示向量空间)，Ax=b总有唯一解

6、 A与单位矩阵等价

7、A可表示成若干个初等矩阵的乘积

8、 A的列向量可以作为n维向量空间Rn(n为上标)的一组基

9、 Rn中任意一个向量都可以由A的列向量线性表出

10、A的特征值全不为0

11、 AT·A是正定矩阵(其中T为上标，表示A的转置)

12、 A是非奇异的

参考资料来源：百度百科-线性相关

Answer 2

右乘可逆矩阵等同于对原矩阵进行初等列变换，初等变换不改变线性无关性

Answer 3

Answer 4

线代。主要从秩特征来理解。
题外话，介绍你看一个视频：
电子科技大学公开课：线性代数与信息科技。
纯粹给你无聊的考研生活添加一点乐趣。不至于学得那么晦涩。

Answer 5

a1,a2,a3...as线性无关，则r(a1,a2,a3...as)=s，如果A可逆r(A(a1,a2,a3...as))=r((a1,a2,a3...as)A)=r(a1,a2,a3...as)=s，即Aa1,Aa2,Aa3...Aas和a1A,a2A,a3A...asA都线性无关